自分用まとめ

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2 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:32:49.09 ID:rIlzcN740 [2/16]
澪　「ああこれは教科書にのってる公式つかえばいいだけだよ」
唯　「えっ?　えっ！　どっ　どの公式＾＾」
澪　「これだよ　これ」

公式
ｘ＾２－ｙ＾２　＝　（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
ｘ＾３＋ｙ＾３　＝　（ｘ＋ｙ）（ｘ＾２－ｘｙ＋ｙ＾２）

唯　「えー（´Д｀　）　なんか全然ちがうよ　ｙとかあるし」
澪　「ばかだな唯は　ｙを１に置き換えればいいだけじゃないか」
　　　「そんなんじゃ　受験のりきれないぞ」

4 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:34:49.66 ID:rIlzcN740
唯　「ブーブー（　・∀・）」
　　「でも　澪しゃんのおかげで答えわかったよ」

答え
①１－ｘ＾２　＝　（１＋ｘ）（１－ｘ）
②１＋ｘ＾３　＝　（１＋Ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２）

唯　「でもこれってさぁ　１－ｘ＾４　とか　１＋ｘ＾５　とかならどうなるのかな？」
澪　「えっ！？　うーん　そういうのは教科書に載ってないし　テストに出ないからいいんじゃないか？」
唯　「そうかな！？　どうかな！？」


6 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:38:02.60 ID:rIlzcN740
澪　「とっ　とにかくもう答えはわかったんだから私は帰るよ」
　　「これから塾にいかなくちゃいけないし　あとは自分でなんとかするんだぞ∧＿∧」
唯　「うん　澪しゃん　ありがとー（　´∀｀）　がんばってみるよ」

　カリカリ　カリカリ…

唯「なんか規則性がありそうだ…。でもわかんないや。家に帰ってアイスたーべよっ」

平沢家

唯　「憂～（・∀・　）　さき　お風呂入るねっ」
憂　「うん　ちゃんとアソコも洗わなきゃめっだよっ」
唯　「わかってるよ　ゴマたまってたら臭いもんね」
憂　「……（わかってねぇー）」

7 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:38:55.34 ID:kRo5VHLg0
まぁ嫌いじゃない
でも何でⅠＡ？

8 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:41:50.79 ID:rIlzcN740
>>7
一応終着点は微積の公式のひとつです
需要があれば続きかきます

9 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:42:39.04 ID:rIlzcN740
１０分後
バタンッ！
唯　「たいへんだ　たいへんだよ　憂！」
憂　「おねぇちゃん　どうしたの　すっぽぽんだよ　ああああああああ　Ｙａｈｏｏｏｏｏｏ」
唯　「えうれか　えうれか　えうれか」
憂　「おねえちゃん　落ち着いて　私もすぐに脱ぐからっ！」
唯　「憂のおっぱいなんてこの際どうでもいいよ　ちょっと聞いてよ憂」
憂　「◎◇◎∥」

唯の見つけた規則性
１－ｘ＾４　＝　（１＋ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３）
１＋ｘ＾５　＝　（１＋ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋ｘ＾４）

12 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:46:15.02 ID:rIlzcN740
唯　「ねぇ　憂　これ合ってるかな？」
憂　「あー　あってんじゃね？」
唯　「憂　すごいねっ　なんで　そんなすぐにわかるの」
憂　「左辺から右辺に因数分解しようとするからむずいんじゃん」
　　　「右辺から左辺に筆算で展開すればよくね？」

ひっさん！

１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３
　　　　　　１＋ｘ
￣￣￣￣￣￣￣￣
１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３
　　 x－ｘ＾２＋ｘ＾３－ｘ＾４
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
１　　　　　　　　　　－ｘ＾４

11 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[sage] 投稿日：2010/06/16(水) 18:45:25.33 ID:eeGAQi5rO
>>8
長編？

14 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:47:54.43 ID:rIlzcN740
>>11
自分のなかではいま４分の１くらいのつもり

16 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 18:56:42.01 ID:rIlzcN740
唯　「ほんとだ　すごいね憂　じゃあさ　じゃあさ　これってさ　まとめるとこうなるんだよねっ！」

唯の見つけた公式

１＋（－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）　＝　（１＋ｘ）（１－ｘ＋ｘ＾２－……＋（－１）＾n・ｘ＾ｎ）

唯　「ってことだよね」
憂　「そだね　もう私寝るね」


17 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 19:02:25.33 ID:rIlzcN740
次の日　学校

唯　「和ちゃん　和ちゃん　私　すごい公式発見したよ」
和　「へー　そうなんだ」
　　　「あー　この公式ね　等比級数を導く式ね」
唯　「トウヒきゅうすう？」
和　「両辺を１＋ｘでわってみなさい」
唯　「えーと　右辺は１/１＋ｘ　とあとうしろにややこしいのがくっついてる」
和　「そうね左辺は？」
唯　「１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋…みたいにずっと続いてるよ」

　１　　　　　　（－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）
━━━　＋　━━━━━━━━━　＝　１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋…
１＋ｘ　　　　　　　　　　１＋ｘ


18 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 19:08:16.64 ID:rIlzcN740
和　「右辺の後ろにあるややこしい部分はxが－１より大きくて１より小さければｎを無限大におっきくすれば消えちゃうんだよ」
唯　「え？　意味わかんないよ」

和　「まず落ち着いて分子を見てみなさい」
唯　「（－１）＾ｎがある」
和　「そうねこれはｎが奇数なら－１で偶数なら１よね。つまりいつも１か－１かどっちかよね」
唯　「そだね」
和　「一番大事なのがその隣のx^(n＋１）ね。これはどういう意味？」
唯　「そんなのｘをｎ＋１回かけたって意味じゃん。それぐらいわかるよ」
和　「じゃあｘが－１と１のあいだにある数字だったとして、ｘをこれでもかってくらい何回もかけてたらどうなる？」
唯　「うーん。よくわかんないや」
和　「じゃあ　たとえばｘが1/2だったら？」
唯　「あー　それならわかるよ
　　　まず1/2でしょ　つぎは１/4 つぎは１/8 で半分ずつになっていっていくらでも小さくなってく」
和　「だから無限回かけざんしたらそのゴールは０になるでしょ。だから分子は－１×０か１×０になって結局０　　ＯＫ？」
唯　（和ちゃん　偉そうだ…　腹立つなぁ）

ｎ→無限　なら　（－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）→０

19 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 19:18:38.05 ID:rIlzcN740
和　「で分母だけどｘは－１と１のあいだの数だから０以外のなにかの数字になるでしょ。その数をとりあえずｃとしとけば　０/cになって結局０になるわけ」

ｘが－１と１の間で　ｎ→無限　だったら
（－１）＾ｎ・ｘ＾（ｎ＋１）
　━━━━━━━━━　→０
　　　　　１＋ｘ

唯　「要するにｎが無限に大きくなったらややこしい部分が消えてくれるんだね　じゃあ簡単だぁ～」
和　「で　もう一度　左辺を見直してほしいんだけど　左辺は初項が１で公比が－ｘの等比数列の和になってるでしょ。だから等比級数の公式になってるの」

減少等比級数の和の公式
　　　１
━━━━━　＝　１－ｘ＋ｘ＾２－ｘ＾３＋…　　（ｘが－１と１の間で　ｎ→無限）
　　１＋ｘ


24 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 19:34:08.48 ID:rIlzcN740
唯　「うーん…」
和　「なにうなってるの唯？」
唯　「これって積分したらどうなるかな？」
　　「1/１＋ｘは積分したらいくらだっけ？」
和　「１＋ｘを微分したら１になるからlog(1＋ｘ）ね」
　　　「もちろん１＋ｘが正になるようにｘは－１より大きくしないといけないけど」
唯　「じゃあ左辺を積分したら？」
和　「これはわかるでしょ」
　　　「ｘ－１/2・x＾２＋1/3・x^3－１/4/・ｘ＾４＋…」

>>18の両辺を積分
　　　　　　　　　　　　　　１　　　　　１　　　　　 1　　
log(1＋ｘ）　＝　ｘ　－　━ｘ＾２　＋━ｘ＾３　－━ｘ＾４　＋…
　　　　　　　　　　　　　　２　　　　　３　　　　　４


28 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 19:47:35.17 ID:rIlzcN740
和　「そうね大体あってるわ」
唯　「大体？絶対これで合ってるよ」
和　「だけど左辺は無限に続いてるでしょ。これを普通に積分していいのかがまず問題なのよ。」
「項別積分は大学で習うんだけど今回はｘが－１から１の範囲で唯の公式は正しいわ。」
「ただし－１は含まず１は含んでるけど」
唯　「ややこしいな　とにかくｘが１のときはいいんだよね。」
和　「そうね」
唯　「じゃあｘに１を入れてみよっと」

ｘ＝１をいれた場合

log2 = 1 －　１/2 ＋　１/3 －　１/4 ＋…


30 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 20:01:37.73 ID:rIlzcN740
（やっぱり最後までやらせてください）

唯　「なんかきれいな式になったね」
和　「ほんとね」
唯　「これって対数の意味考えたらeの１－１/2＋１/3-…乗が２になるってことっだよね…」
和　「…」
唯　「じゃあさ」
　　　「eの奇数分の１乗を無限個かけた積をeの偶数分の１乗を無限個かけた積でわったら２になるんだね！」

唯のみつけた公式

e・e^1/3・e^1/5・e^1/7・e^1/9・…
━━━━━━━━━━━━━━　＝　２
e^1/2・e^1/4・e^1/6・e^1/8・…

eは自然対数の底
e = 2.7182…


この式が気にってるのでスレたてました

どうもありがとうございました

32 名前：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします[] 投稿日：2010/06/16(水) 20:07:59.21 ID:rIlzcN740
参考文献

長岡亮介著　「本質の研究　数学Ｉ＋Ａ」　（旺文社）
斎藤正彦著　「はじめての微積分（上）（下）」　（朝倉書店）
　　ここに>>28の細かい部分が載っています
ＹＥＯ・エイドリアン著　久保儀明・蓮見亮訳　「πとeの話」　（青土社）
>>29の公式はここから引用しました
ほかにも面白い公式がいっぱい載ってます